Lise eğitimini, Ankara Atatürk Lisesinde tamamladı. Üniversite lisans eğitimini, 1984 yılında girdiği ODTÜ'de fizik bölümünde okumaya başladı ve 1990 yılında tiyatrocu olmaya karar verip bölümü bıraktı. Üniversiteyi bitirir bitirmez İngiltere'ye gitti. 14 yılık İngiltere serüveninde işportacılık, şoförlük, tezgahtarlık gibi işlerde çalıştı. İyi derecede İngilizce bilmesi nedeni ile, Londra'daki gurbetçi derneklerinde temsilcilik yaptı. İkinci lisans eğitimini, İngiltere'de Goldsmiths, University of London'da "Medya ve İletişim" bölümünde yaparak 1996 da mezun oldu. Bu bölümde, televizyon, sinema ve iletişim okudu. Okul sonrası, televizyon için belgeseller çekmeye başladı. Kısa filmler yönetti. Oyunculuğa olan ilgisi ise, Türkiye'deki üniversite yıllarında, bir üniversite tiyatrosu olan, ODTÜ Oyuncuları'nın çalışmalarına katıldığı sıralarda oluştu. Türkiye'de başladığı oyunculuk serüvenine İngiltere'de de devam etti ve okuduğu bölümün kapsamı altında tiyatro eğitimi de aldı. Ayrıca Londra'da birçok oyunculuk atölyesine katıldı. Tiyatro oyunlarında oynadı. Bir yandan televizyon için belgeseller çekti. Tiyatro yaparken oyunculuğu bırakıp belgeselciliğe ağırlık vermeyi düşünüyordu ki, Londra'da tiyatro yapan bir başka Türk tiyatrocu olan Mehmet Ergen ile tanıştı. Mehmet Ergen'in ısrarları üzerine oyunculuğa devam etmeye karar verdi. Daha sonra, Mehmet Ergen'in öncülüğünde dört arkadaş Arcola Theatre adında bir tiyatro kurdular. İngiltere'de Arcola Theatre'ın adını kısa sürede duyurmayı başardılar. Cengiz Bozkurt artık hayatına bir aktör olarak devam ederken, kısa filmler de çekiyordu. Çektiği kısa filmler festivallerde gösteriliyordu. 2000'li yılların başında, Mehmet Ergen Türkiye'de de oyunlar yönetmeye başladı ve 2003 yılında, Kent Oyuncuları için yönettiği Inishmore'lu Yüzbaşı adlı oyun için Cengiz Bozkurt'u İstanbul'a davet etti. Bu oyunla birlikte Cengiz Bozkurt 14 yıldır uzak olduğu ülkesine geri dönmüş oldu. Arka arkaya birkaç oyunda oynadıktan sonra tiyatro dalında verilen oyunculuk ödüllerine aday oldu. Hakkında çok iyi eleştiriler çıkmaya başladı. Tiyatro oyunları yönetti. Tiyatro'da yaptığı işlerin başarısından sonra, televizyonda ve sinemada da çalışmalar yapmaya başladı. Kamera önünde yaptığı işlerde de tiyatroda olduğu gibi önemli etkiler elde etti. Oynadığı dizilerdeki roller ile fenomenler oluşturdu. Bunlardan en akılda kalıcı olan, Leyla ile Mecnun adlı dizideki Erdal Bakkal karakteridir. Birçok uluslararası projede de rol alan Cengiz Bozkurt 2003 yılı itibarı ile oyunculuk hayatını İngiltere ve Türkiye arasında, eş zamanlı olarak yürütmektedir.