Людмила Дребнёва родилась 8 октября 1954 года в городе Кургане Курганской области. В 1972 или 1973 году приехала из Оренбурга в Москву и поступила в Школу-студию МХАТ. В середине первого курса её пригласили сниматься в главной роли в фильме режиссёров Валентина Козачкова и Вадима Лысенко «Посылка для Светланы» (1974), за что студентку исключили из учебного заведения. После окончания съёмок фильма Людмила вернулась в Москву и поступила в Щукинское училище. В 1978 году окончила Высшее театральное училище имени Б. В. Щукина (актёрский курс А. Г. Бурова) и была приглашена в труппу Театра имени Моссовета, где прослужила одиннадцать лет (1978—1989). С 1987 года (со дня основания театра) — актриса московского театра «Школа драматического искусства» Анатолия Васильева (режиссёрско-актёрская Лаборатория Игоря Яцко).