Игорь Богодух родился 4 марта 1938 года в Ростове-на-Дону. После общеобразовательной школы поступил в РГПУ на отделение физического воспитания. Окончив обучение, Игорь в течение недолгого времени работал по специальности. Затем неожиданно для многих решил связать себя с актёрской профессией и поступил в РУИ. Учёба прерывалась службой в армии. В 1964 году Игорь окончил обучение и был принят на работу в Ростовский театр драмы имени М. Горького, где прослужил до 2009 года, за эти годы создав целую галерею острохарактерных образов. В 1985 году дебютировал в кино. Это был фильм «Миллион в брачной корзине» по мотивам пьесы Скарначчи и Тарабузи «Моя профессия — синьор из общества» режиссёра В. Шиловского. Материал произведения Богодуху уже был знаком, ведь он с успехом играл на сцене Ростовского театра одну из главных ролей в спектакле — Антонио (именно эта роль досталась и в фильме, куда лично пригласил его Шиловский). Также наиболее известные фильмы с участием И. Богодуха: «Узник замка Иф», «Морской волк», «Блуждающие звёзды», «Каталажка», «Привал странников», «Дневник убийцы». Умер 18 марта 2020 года в Ростове-на-Дону.